الفيزياء — الصف الثالث الثانوي، الطبعة الثانية ٢٠٠٥

(4-1-1) عجلة الجاذبية الأرضية (عجلة السقوط الحر) :

نحن نعرف من دراستنا في الصف الأول وحسب قانون الحركة الثاني لنيوتن أن وزن جسم على سطح الأرض هو قوة وبالتالي تساوى الكتلة × العجلة.

أي :

الوزن = كتلة الجسم × عجلة الجاذبية الأرضية (عجلة السقوط الحر الناتجة عن جذب الأرض للجسم) . أي أن :

(2-1)
و=ك×د\text{و} = \text{ك} \times \text{د}

حيث ك ≡ كتلة الجسم ، د = 9.8 م\ث² على سطح الأرض

ولكننا نعرف أيضاً أن هذا الجسم والأرض يتجاذبان حسب قانون التثاقل الكوني بقوة التثاقل بين الاثنين مما يعنى أن :

وزن الجسم = قوة التثاقل بين الأرض والجسم

[العبارة داخل إطار.]

أي أن :

(3-1)
ك×د=ج ك كأف2\text{ك} \times \text{د} = \frac{\text{ج}\, \text{ك}\, \text{ك}_\text{أ}}{\text{ف}^2}

[في البسط: ج ك ك_أ متجاورة، وك_أ هي كتلة الأرض (ك بدليل أ).]

حيث ك_أ = كتلة الأرض و ف هي بعد الجسم من مركز الأرض. ومن هذه المعادلة بعد قسمة الطرفين على ك نجد أن عجلة الجاذبية للأرض (عجلة السقوط الحر) هي:

(4-1)
د=ج كأف2\text{د} = \frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{أ}}{\text{ف}^2}

[المعادلة (1-4) داخل إطار.]

المعادلة (1-4) توضح أن عجلة الجاذبية الأرضية تتوقف على كتلة الأرض (وهى طبعا كمية ثابتة) وتتوقف أيضا على بعد الجسم من مركز الأرض (تقل كلما زاد هذا البعد)، ولكنها لا تتوقف على كتلة الجسم نفسه فكل الأجسام الخفيفة أو الثقيلة تؤثر عليها نفس عجلة الجاذبية الأرضية إذا كانت في نفس الموقع (وهذا ما كان قد أثبته العالم جاليليو بالتجربة من برج بيزا المائل) .

الشكل (1-3) :

الشكل (1-3) : تغير قيمة د مع المسافة داخل الأرض وخارج الأرض

[رسم بياني: المحور الرأسي «د عجلة الجاذبية» إلى أعلى، وعليه علامة «د₀ = 9.8 م\ث²». المحور الأفقي إلى اليمين وعليه العلامات: نق ، 2نق ، 3نق ، 4نق، وتحته التسمية «المسافة من مركز الأرض ف»، ونهاية المحور سهم. دائرة تمثل الأرض، في مركزها (عند أصل المحورين تقريباً) التسمية «مركز الأرض». سهم منقط يشير إلى محيط الدائرة وعليه «سطح الأرض». من المركز خط مستقيم يتصاعد داخل الأرض حتى يبلغ د₀ عند ف = نق (سطح الأرض)، ثم ينحني المنحنى هابطاً خارج الأرض (تناسب عكسي مع مربع المسافة)، مع خطوط متقطعة أفقية ورأسية عند السطح وعند نحو 2نق.]

[معظم نص هذه الصفحة داخل إطار كبير.]

بعد أي جسم موجود على سطح الأرض من مركز الأرض ف=نق (نصف قطر الأرض) وبالتالي تكون عجلة الجاذبية الأرضية على سطح الأرض والتي سنرمز لها بالرمز :

(5-1)
د0=ج كأنق2=9.8 م/ث2\text{د}_0 = \frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{أ}}{\text{نق}^2} = 9.8 \text{ م}/ \text{ث}^2

[المعادلة (1-5) داخل إطار.]

حيث ف = نق على سطح الأرض. ولكن إذا كان هناك جسم على بعد ف = 2 نق فإن :

د=ج كأ4 نق2أي أند=د0/4\text{د} = \frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{أ}}{4\, \text{نق}^2} \qquad \text{أي أن} \quad \text{د} = \text{د}_0 / 4

وكلما زادت ف كلما قلت عجلة الجاذبية الأرضية . شكل (1-3) يوضح منحنى تغير قيمة د كلما ارتفعنا عن سطح الأرض حيث يقل تجاذب الأرض والجسم لأنه يتناسب عكسيا مع مربع المسافة . الشكل أيضا يوضح أن القانون (1-4) لا ينطبق على تغير قيمة (د) داخل الأرض حيث د = صفر في مركز الأرض وتزيد قيمتها خطيا حتى تصبح قيمة د = د₀ على سطح الأرض . أي أن د₀ (عجلة الجاذبية الأرضية على سطح الأرض) هي أعلى قيمة لعجلة الجاذبية الأرضية مقارنة بقيمتها داخل الأرض أو قيمتها كلما ارتفعنا عن سطح الأرض.بقسمة المعادلة (1-4) على المعادلة (1-5) نجد أن :

دد0=(ج كأ/ف2)÷(ج كأ/نق2)=نق2÷ف2\frac{\text{د}}{\text{د}_0} = (\text{ج}\, \text{ك}_\text{أ} / \text{ف}^2) \div (\text{ج}\, \text{ك}_\text{أ} / \text{نق}^2) = \text{نق}^2 \div \text{ف}^2

أي أن :

(6-1)
د=د0×نق2ف2\text{د} = \text{د}_0 \times \frac{\text{نق}^2}{\text{ف}^2}

باستعمال المعادلة (1-6) يمكن إيجاد قيمة د في أي موقع فوق سطح الأرض إذا علمنا ارتفاعها عن سطح الأرض حيث ف = نق+ (ذلك الارتفاع) حيث نصف قطر الأرض نق = 6400 كم وقيمة د₀ معروفة كما في معادلة (1-5) .

مثال(1-1) :

طائرة ركاب تطير على ارتفاع 15 كم فوق سطح الأرض. جد عجلة الجاذبية الأرضية د داخل تلك الطائرة علما بأن نصف قطر الأرض نق= 6400 كم.

الحل:

ف = ارتفاع الطائرة عن مركز الأرض = نق + 15 كم = 6415 كم ،

د=[9.8×(6400 كم)2]÷(6415 كم)2\text{د} = [9.8 \times (6400 \text{ كم})^2] \div (6415 \text{ كم})^2
=9.8×0.99533=9.7524223= 9.8 \times 0.99533 = 9.7524223

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): حاصل الضرب الصحيح 9.8 × 0.99533 ≈ 9.754234، لا 9.7524223.

أي أن هنالك انخفاضا طفيفا في قيمة (د) وأن د = 99.533% من قيمة د₀

مثال(1-2) : كتلة الأرض

يندهش بعض الناس إذا قلت لهم أن كتلة الأرض أو كتلة الشمس أو ذاك النجم تساوي كذا كجم وذلك لظنهم أنه لإيجاد أي كتلة لا بد من وضعها على ميزان وعليه فمن المستحيل إيجاد ميزان توزن به الأرض أو الشمس . ولكن نظرة واحدة إلى المعادلة (1-4) أعلاه توضح أن الأمر أبسط من ذلك بكثير حيث أن :

(5-1)
د0=ج كأنق2\text{د}_0 = \frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{أ}}{\text{نق}^2}

ومنها نجد أن كتلة الأرض :

(7-1)
كأ=د0 نق2ج\text{ك}_\text{أ} = \frac{\text{د}_0\, \text{نق}^2}{\text{ج}}

[المعادلة (1-7) داخل إطار.]

حيث نحن نعرف أن (د₀) = 9.8 م\ث²، نصف قطر الأرض (نق) = 6400 كم = 6.4 × 10⁶ م. وثابت التثاقل الكوني (ج) = 6.67 × 10⁻¹¹ نيوتن.م²\كجم²

كتلة الأرض كأ=9.8×(6.4×106)26.67×10−11=9.8×40.96×1012×10116.67\text{كتلة الأرض }\text{ك}_\text{أ} = \frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}} = \frac{9.8 \times 40.96 \times 10^{12} \times 10^{11}}{6.67}
كأ=6,018×1024 كجم=6×1024 كجم\text{ك}_\text{أ} = 6{,}018 \times 10^{24} \text{ كجم} = 6 \times 10^{24} \text{ كجم}
=6000000000000000000000000 كجم= 6000000000000000000000000 \text{ كجم}

[الفاصلة في 6,018 هي فاصلة عشرية في المطبوع (أي 6.018). عدد الأصفار في السطر الأخير يساوي 24 صفراً بعد الستة، أي 6×10246 \times 10^{24}.]