(3-2-2) معادلة الموجة المتحركة :

قبل إيجاد معادلة الموجة المتحركة سننظر أولا إلى موجة ساكنة حيث يمثل شكل (2-9) صورة لموجة ساكنة في لحظة ما وأول ما نلاحظه أن شكل الموجة هو منحنى جيبي مثل الذي حصلنا عليه في الحركة التوافقية البسيطة ولكن الفرق أن الموجة - ولأنها تنتشر عبر المكان فإن إزاحة أي نقطة على شكل الجيبى -تتوقف على بعد هذه النقطة س من بداية الموجة [الشكل (2-9)] . ولذلك ، من الشكل يمكن أن نستنتج أن إزاحة الموجة ص تتناسب مع جا زاوية ما تتغير مع س. وقد وجد أن الإزاحة:

[المعادلة (2-10) داخل إطار.]

حيث أ هو إتساع الموجة وهو أقصى إزاحة في الموجة و λ هو طول الموجة و س هي المسافة من نقطة البداية.

الشكل (2-9) : شكل الموجة وهى ساكنة .

محور رأسي ص، موسوم الاتساع أ. محور أفقي س. منحنى جيبي. عند القمة الأولى: $(\text{س} = \dfrac{\lambda}{4} \text{،} \text{ص} = \text{أ})$. عند عبور المحور بعد موجة كاملة: $(\lambda \text{،} 0)$ تقريباً بالصورة $(. \text{،} \lambda)$. عند القاع: $(\text{س} = \dfrac{3\lambda}{4} \text{،} \text{ص} = -\text{أ})$. سهم مزدوج أفقي λ.

في المعادلة (2-10) الزاوية هي $[\dfrac{2\pi}{\lambda} \times \text{س}]$ وهي زاوية تتغير مع س ومحصورة بين صفر (عندما س=صفر) و $2\pi$ (عندما س =λ ) وتكرر نفسها بعد ذلك مع استمرار الزيادة في س. وبمقارنة المعادلة (2-10) مع شكل (2-9) نجد أنه : عندما س = 0

فإن: ص = أ جا صفر = صفر ، أما عندما س = $\dfrac{\lambda}{4}$ تصبح :

ص= أ جا $\dfrac{\pi}{2}$ = أ(الاتساع)

وعندما س = $\dfrac{3}{4}\lambda$ ، ص = أ جا $(\dfrac{3}{2} \pi)$= − أ ؛ أما إذا أصبحت س=λ فإن ص = أ جا $2\pi$ = صفر. المعادلة (2-10) هي معادلة موجة ساكنة وبالرغم من أنها تمثل شكل الموجة الحقيقي في أي لحظة إلا أنها موجة لا تتحرك ولذلك نحتاج لمعادلة الموجة المتحركة والتي إيجادها باختيار إطارين: الأول وهو الإطار الذي إحداثياته س ، ص وسنعتبره ثابتا لا يتحرك ( شكل (2-10) ) وإطار آخر س′ و ص′ نفترض أن به موجة ساكنة يمكن أن يتحرك معها بالسرعة ع في داخل الإطار الأول. ولأن الموجة ساكنة في هذا الإطار فإن الإزاحة ص′ من معادلة الموجة الساكنة (2-10) هي:

سنفترض أنه في البداية عندما كان الزمن ن=صفر أن المحورين كانا متطابقين ثم تحرك المحور س′ ، ص′ الذي يحمل الموجة الساكنة على الإحداثي السيني بالسرعة ع ، وبعد زمن مقداره ن كان على بعد ع × ن من الإحداثي الصادي للإطار س،ص كما موضح بشكل (2-10) . وتصبح قمة الموجة التي على بعد س′ في الإطار س′ ، ص′ على بعد س في الإطار س ، ص وعليه من الشكل نجد أن:

شكل (2-10) :استنتاج معادلة الموجة المتحركة

إطاران: أصل أيسر محوره الرأسي ص، وأصل أيمن محوره ص′ مزاحاً إلى اليمين مسافة موسومة ع×ن. المحور الأفقي س ، س′. من الأصل الأيسر مسافة س إلى نقطة على الموجة؛ ومن الأصل الأيمن مسافة س′. قمة الموجة موسومة $(\text{س}' \text{،} \text{ص}')$. منحنى جيبي في الإطار المتحرك.

أي أن:

$\text{س} = \text{س}' + \text{ع} \times \text{ن}$

$\text{س}' = \text{س} - \text{ع} \times \text{ن}$

وعليه تصبح (2-11):

$\text{ص}' = \text{أ} \text{جا} \dfrac{2\pi}{\lambda} \times \text{س}' = \text{أ} \text{جا} \dfrac{2\pi}{\lambda} \times (\text{س} - \text{ع} \times \text{ن})$

وبما أن إزاحة الموجة في المحورين متساوية، أي ص′ = ص ، فإن:

[المعادلة (2-12) داخل إطار.]

وهذه هي معادلة الموجة المتحركة بسرعة ع . وقد اختفى منها تماما أثر الإطار س′ ، ص′ الذي استعنا به للتبسيط وأصبحت العلاقة مباشرة بين ص و س. لاحظ في شكل (2-12) أن إزاحة الموجة ص أصبحت بعد حركة الموجة تتغير مع س ومع الزمن ن أيضاً .

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): الشكل المعني هو (2-10)؛ (2-12) رقم المعادلة السابقة.

الموجة مثل الحركة التوافقية البسيطة والحركة الدائرية لها تردد حيث: تردد الموجة ذ هو عدد الطول الموجي λ الذي يمر في الثانية الواحدة ووحدته هيرتز أي ذبذبة في الثانية وهناك علاقة بين سرعة الموجة ع وطولها الموجي λ وترددها ذ . وبما أن السرعة هي المسافة التي يمثلها عدد الموجات التي مرت في الثانية. أي :

ع = السرعة = عدد الطول الموجي المار في الثانية × طول الموجة

$= \text{التردد} \times \text{طول} \text{الموجة} = \text{ذ} \times \lambda$

[المعادلة (2-13) داخل إطار.]

وهذا القانون مهم جداً وينطبق على كل أنواع الموجات سواء أكانت موجات صوت [موجات طولية] أو موجات ماء أو موجات كهربية مغناطيسية (مثل الضوء) [موجات مستعرضة] كما سنرى لاحقاً .

أمثلة محلولة :

مثال (2-4) :موجة متحركة معادلتها في الصورة :

$\text{ص} = 3 \text{جا} \dfrac{\pi}{2.5} (\text{س} - 200 \text{ن})$

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): المقام في المسألة 2.5 وفي الحل 25. الحل متسق مع 25 (λ=50 م، ذ=4). الأرجح أن 2.5 سهو عن 25.

جد اتساع الموجة وطولها الموجي وسرعتها وترددها .

الحل : المطلوب : إيجاد أ ، λ ، ع ، ذ بمقارنة : ص = 3 جا[$\dfrac{\pi}{25}$ (س - 200 ن) ]

مع الصورة العامة ص = أ جا $\dfrac{2\pi}{\lambda}$ [(س - ع × ن)]

نجد أن الاتساع أ = 3 م ونجد أن $\dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{\pi}{25}$ وبالضرب العكسي نجد أن : $λ = 50$ $∴$ الطول الموجي = λ = 50 متر وكذلك نجد أن ع = 200 م\ث أما تردد الموجة من (2-13):

$\text{ذ} = \dfrac{\text{ع}}{\lambda} = \dfrac{200}{50} = 4$ هيرتز

(أي تردد في الثانية أو موجة في الثانية)

مثال (2-5) :موجة طولها الموجي 200 متر وترددها 1000 هيرتز واتساعها 5 أمتار جد سرعتها ومعادلتها .

الحل : إيجاد السرعة ع : $λ = 200$ م ، ذ = 1000 هيرتز ، أ = 5 م $\text{ع} = \text{ذ} \times \lambda = 1000 \times 200 = 200000$ م\ث

معادلة الموجة :

$\text{ص} = \text{أ} \text{جا} \left( \dfrac{2\pi}{\lambda} \times (\text{س}-\text{ع} \text{ن})\right)$

$\text{ص} = 5 \text{جا} \left( \dfrac{2\pi}{200} \times (\text{س} - 200000 \text{ن})\right).$