(3-2-1) قوانين الحركة الدائرية؛ أمثلة (1-4)(1-5)(1-6) — الفيزياء — الصف الثالث الثانوي، الطبعة الثانية ٢٠٠٥

(3-2-1) قوانين الحركة الدائرية :

1/ الزمن الدوري :

هو الزمن اللازم لكى يكمل الجسم الذى يدور في دائرة دورة كاملة ويرمز بالرمز ز

[التعريف داخل إطار.]

فالأرض مثلا تكمل دورة كاملة حول الشمس في 365 يوما وربع اليوم تقريباً (بالضبط 365 يوم و 6 ساعات و 9 دقائق و 59 ثانية).إذا فالزمن الدوري لدوران الأرض حول الشمس هو هذا المقدار محسوبا بالثانية. وعليه فالزمن الدورى للأرض:

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): هذه المدة لا تساوي 365.25 يوماً المستخدمة في الحساب (365.25 يوم = 6 ساعات تمامًا = 31557600 ث، والحساب صحيح لهذه القيمة).

ز = 365.25 يوم × 24 ساعة × 60 دقيقة × 60 ثانية = 31557600 ثانية

من التعريف أعلاه نستنتج أن الزمن الدوري هو الزمن اللازم للجسم لقطع مسافة تساوى محيط الدائرة أي 2π نق حيث نق هو نصف قطر الدائرة. ولكن هذه المسافة ( محيط الدائرة ) = سرعة دوران الجسم (السرعة المماسة) ع × الزمن الدوري (ز) . أي أن:

(18-1)

\text{ع} \times \text{ز} = 2\pi\, \text{نق}

ومنها نجد أن السرعة المماسة:

(19-1)

\text{ع} = 2\pi\, \text{نق} \div \text{ز}

[المعادلة (1-19) داخل إطار.]

2/ التردد:

التردد هو عدد الدورات في الثانية ويرمز له بالرمز ذ (من ذبذبة) ويقاس بالهيرتز = دورة \ ثانية

[التعريف داخل إطار.]

أي أن التردد: ذ = مقلوب الزمن الدوري ز = 1 ÷ ز (1-20)

وبناء عليه تصبح السرعة المماسة من (1-19) هي:

(21-1)

\text{ع} = 2\pi\, \text{نق}\, \text{ذ}

[المعادلة (1-21) داخل إطار.]

مثال(1-4) :

قمر اصطناعي يدور حول الأرض على ارتفاع 300 كم من سطح الأرض مرة كل 90 دقيقة. جد سرعة هذا القمر في مداره إذا علمت أن نصف قطر الأرض يساوى 6400 كم.

الحل :

الزمن الدوري للقمر الاصطناعي ز = 90 دقيقة= 90 × 60 =5400 ثانية

= 5.4 × 10³ ث

السرعة المماسة $\text{ع} = 2\pi\, \text{نق} \div \text{ز}$

نصف قطر مدار القمر الاصطناعي (اعتباراً من مركز الأرض):

نق = نصف قطر الأرض + 300 كم = 6400 + 300 = 6700 كم

= 6700000 متر = 6.7 × 10⁶ م

\text{ع} = (2\pi\, \text{نق}) \div \text{ز} = (6.2832 \times 6.7 \times 10^6) \div (5.4 \times 10^3)

=7795.8 م\ث = 7.796 كم \ ث.

لاحظ أن سرعة هذا القمر الاصطناعي في مداره قريبة من 8 كم \ ث وهي سرعة عالية جداً مقارنة بسرعات الأجسام على الأرض ولو قلت هذه السرعة عن هذه القيمة بقليل سيسقط هذا القمر إلى الأرض كما سنرى لاحقاً.

3/ السرعة الزاوية :

الشكل (1-7):

الشكل (1-7): حركة جسم في دائرة من أ إلى ب

[رسم: دائرة، مركز عليه زاوية هـ بين نصف قطر أفقي إلى النقطة أ (أسفل اليمين على المحيط) ونصف قطر إلى النقطة ب على القوس العلوي. سهم «نق» إلى نصف القطر السفلي. قوس بين أ و ب موسوم «القوس». عند أ سهم سرعة رأسي $\text{ع}_{\text{أ}}$ ، وبجانبه «الزمن = صفر». عند ب سهم سرعة مماس $\text{ع}_{\text{ب}}$ ، ومن ب خط منقط موسوم «الزمن= ن».]

شكل (1-7) يوضح حركة جسم في مسار دائري من (أ) إلى (ب) في زمن (ن) حيث سار على المحيط المسافة (القوس) (س) صانعا خلال هذه الحركة زاوية مقدارها (هـ). وبما أن: المسافة = السرعة × الزمن. فإن:

(22-1)

\text{س} = \text{ع} \times \text{ن}

حيث ع هي السرعة المماسة والتي سنفترض أنها منتظمة في كل دراستنا للحركة الدائرية في هذا الفصل أي أن قيمتها ثابتة ولكن اتجاهها متغير بسبب حركة الجسم في مسار دائري . وعليه فإن قيمة ع= قيمة $\text{ع}_{\text{أ}}$ =قيمة $\text{ع}_{\text{ب}}$ .ولكن نحن نعلم أيضا أن طول القوس:

(23-1)

\text{س} = \text{نق} \times \text{هـ} \quad (\text{بالراديان})

وهى العلاقة التي بنى عليها التقدير الدائري (الراديان) حيث نق هو نصف قطر الدائرة التي يكون القوس جزءاً منها و(هـ) هي الزاوية التي تصنعها حركة الجسم مع مركز الدائرة أثناء سيره على محيط الدائرة من (أ) إلى (ب) وتسمى بالزاوية المزاحمة وتقاس بالراديان (الراديان هي الزاوية التي طول قوسها على محيط الدائرة يساوى نصف قطر الدائرة أي س= نق).

من (1-22) و (1-23) :

\text{ع} \times \text{ن} = \text{نق} \times \text{هـ}

(24-1)

\therefore \text{السرعة المماسة } \text{ع} = \text{نق} \times \left(\frac{\text{هـ}}{\text{ن}}\right)

الكمية : $\frac{\text{هـ}}{\text{ن}}$ هي معدل تغير الزاوية المزاحمة في الزمن ولذلك فهي مثلها مثل تغير المسافة في الزمن هي سرعة ولكنها خاصة بالحركة الدائرية (لوجود الزاوية هـ) وتسمى السرعة الزاوية وهي تمثل مقدار الزاوية المزاحمة في الثانية الواحدة ويرمز لها بالرمز ω (ينطق اوميقا omega)

(25-1أ)

\therefore \omega = \frac{\text{هـ}}{\text{ن}}

[المعادلة (1-25أ) داخل إطار.]

وتقاس بالراديان في الثانية . وبتعويض (1-25أ) في (1-24) نحصل على :

السرعة المماسة :

(26-1)

\text{ع} = \text{نق} \times \omega

[المعادلة (1-26) داخل إطار.]

أما إذا أكمل الجسم دورة كاملة فإن :

الزاوية المزاحمة هـ = 2π والزمن ن = ز (الزمن الدوري)

فإن: $\omega = \frac{\text{هـ}}{\text{ن}} = \frac{2\pi}{\text{ز}} \qquad (1-25\text{ب})$

وبالتعويض في المعادلة (1-26) نحصل على :

(27-1)

\text{ع} = \text{نق} \times \frac{2\pi}{\text{ز}}

أي أن : $\text{ع} \times \text{ز} = \text{نق} \times 2\pi$ (وهو ما حصلنا عليه في المعادلة (1-18))

مثال (1-5) : أحسب السرعة الزاوية التي يتحرك بها سطح الكرة الأرضية أثناء دورانها حول محورها .

الحل :

تدور الأرض وتقطع زاوية قدرها 2π في كل (يوم) 24 ساعة (86400 ثانية). لذا نجد أن سرعتها الزاوية تساوي:

$\omega = \text{هـ} / \text{ن}$ = الإزاحة الزاوية ÷ الزمن الدوري = ( 2π ) \ 86400

= 7.27 × 10⁻⁵ راديان \ ثانية

4/ قوة الجذب المركزية :

عرفنا فيما سبق أنه لكي يدور جسم في مسار دائري لا بد من وجود قوة تجذبه لمركز الدائرة تسمى قوة الجذب المركزية . شكل (1-8) يوضح حركة جسم في مسار دائري بسرعة منتظمة وبالرغم من أن قيمة السرعة ثابتة إلا أن تغيير الاتجاه له قيمة فيزيائية كما سنرى فيما بعد . ولكي نميز بين القيمة العددية والمتجه نضع فوق رمز السرعة ع سهما للرمز لمتجه السرعة. فمثلا في النقطة أ متجه السرعة هو $\vec{\text{ع}_{\text{أ}}}$ أما طول الخط المماس للدائرة في شكل (1-8) فيمثل مقدار السرعة.

الشكل (1-8):

الشكل (1-8): اتجاهات السرعة في الحركة الدائرية

[يسار: دائرة متقطعة، المركز م، نصف القطر نق إلى النقطة أ على اليمين. النقطة ب على المحيط أعلى يسار أ. سهم $\text{ع}_{\text{أ}}$ مماس عند أ إلى أعلى، سهم $\text{ع}_{\text{ب}}$ مماس عند ب. وتر أو خط «س» عند ب. زاوية هـ عند المركز، ومثلث قائم عند أ. سهم عريض إلى اليمين نحو الجزء الأيمن من الشكل.

يمين: مثلث متجهات: ضلع $\text{ع}_{\text{ب}}$ ، ضلع $\text{ع}_{\text{أ}}$ ، وقاعدة Δع موسومة «Δع في اتجاه مركز الدائرة». تحت المثلث ثلاثة أسهم: $\vec{\text{ع}_{\text{ب}}} = \vec{\text{ع}_{\text{أ}}} + \vec{Δ\text{ع}}$ ، وتحت ذلك «مثلث متجهات السرعة».]

لنفرض أن الجسم عندما كان في النقطة (أ) كانت سرعته ( $\vec{\text{ع}_{\text{أ}}}$ ) وبعد فترة زمنية قصيرة ( Δن (تنطق دلتا ن)) أصبحت سرعته ( $\vec{\text{ع}_{\text{ب}}}$ ) وقطع مسافة س (القوس أ ب) مكوناً زاوية (هـ) والتي تسمى الزاوية المزاحمة وتقاس بالراديان. فإذا رسمنا متجهات السرعة $\text{ع}_{\text{أ}}$ و $\text{ع}_{\text{ب}}$ كضلعي مثلث بنفس اتجاهاتها وأطوالها التي على الدائرة كما موضح في يمين الشكل (1-8) فنجد أن الفرق في الاتجاه يصنع متجها جديدا هو المتجه Δع والذي نلاحظ انه في اتجاه مركز الدائرة. هنا استعملنا ما يعرف بالجمع الاتجاهي وهو عملية بسيطة تقول أن متجه السرعة في النقطة ب يساوى متجه السرعة في النقطة أ مضافا إليه المتجه الذي طوله المسافة الناتجة عن التغير في الاتجاه. أي أن $\vec{\text{ع}_{\text{ب}}} = \vec{\text{ع}_{\text{أ}}} + \vec{Δ\text{ع}}$ (جمع اتجاهي) حتى ولو كانت قيمة $\text{ع}_{\text{أ}}$ = قيمة $\text{ع}_{\text{ب}}$ . المثلث الناتج (شكل (1-8))يسمى مثلث المتجهات وفي هذه الحالة يسمى مثلث متجهات السرعة .

نلاحظ أن مثلث المتجهات $\text{ع}_{\text{أ}}$ ، Δع ، $\text{ع}_{\text{ب}}$ يشابه المثلث أ ب م على الدائرة [شكل (1-8)] بافتراض أن المسافة أ ب صغيرة جداً بحيث يمكن اعتبارها خطاً مستقيماً . وبالتالي فإن الزاوية (هـ) صغيرة جداً بحيث أن المسافة:

أ ب = س = ع × Δن

حيث Δن الزمن اللازم لحركة الجسم من أ إلى ب.

من تشابه المثلثين نجد أن:

\frac{Δ\text{ع}}{\text{ع}_{\text{ب}}} = \frac{\text{أب}}{\text{بم}} = \frac{\text{س}}{\text{نق}}

وبما أن قيمة $\text{ع}_{\text{أ}}$ = $\text{ع}_{\text{ب}}$ = ع فإن :

\frac{Δ\text{ع}}{\text{ع}} = \frac{\text{س}}{\text{نق}} = \frac{\text{ع} \times Δ\text{ن}}{\text{نق}}

\therefore \frac{Δ\text{ع}}{Δ\text{ن}} = \frac{\text{ع}^2}{\text{نق}}

الكمية $\frac{Δ\text{ع}}{Δ\text{ن}}$ هي تغير السرعة في الزمن وبالتالي هي عجلة

\therefore \frac{Δ\text{ع}}{Δ\text{ن}} = \text{العجلة } \text{ج}

وبما أن $\vec{Δ\text{ع}}$ في اتجاه مركز الدائرة فهذه العجلة تكون في اتجاه مركز الدائرة

(28-1)

\therefore \text{العجلة } \text{ج} = \frac{\text{ع}^2}{\text{نق}}

[المعادلة (1-28) داخل إطار.]

من قانون الحركة الثاني لنيوتن فإن أي قوة(ق) = الكتلة × العجلة. وبما أن قوة الجذب المركزية أيضا في اتجاه مركز الدائرة لأنها القوة اللازمة لبقاء الجسم في حالة دوران ولأنه لا توجد قوة أخرى في هذا الاتجاه فلابد أن تكون العجلة جـ في المعادلة (1-28) هي عجلة قوة الجذب المركزية المتجهة إلى مركز الدائرة ∴ قوة الجذب المركزية ق = ك × جـ وبالتالي من (1-28) تصبح قوة الجذب المركزية

(29-1)

\text{ق} = \frac{\text{ك}\, \text{ع}^2}{\text{نق}}

[المعادلة (1-29) داخل إطار.]

وعلى ذلك فإن قوة الجذب المركزية المطلوبة لكي تحافظ على سير الجسم في مساره الدائري تتناسب طردياً مع مربع السرعة (وكتلة الجسم) وعكسياً مع نصف قطر الدائرة . وكنا قد لاحظنا في تجربة الجسم المربوط في خيط ويدور في دائرة أفقية نصف قطرها طول الخيط أن الشد في الخيط والذي يعادل قوة الجذب المركزية يزداد كلما زدنا سرعة الجسم ومن المعادلة أعلاه أيضاً يمكن أن نفهم لماذا كان من الأسهل تحريك جسم مربوط في خيط طويل مقارنة مع إدارة جسم مربوط في خيط قصير (أجر التجربة بنفسك واحترس من أن تصيب شخصاً بجوارك) .

قوة الجذب المركزية في المعادلة (1-29) هي نفسها القوة المطلوبة لكي يدور القمر حول الأرض والكواكب حول الشمس . أي أنه :

للأجرام السماوية والأقمار الإصطناعية قوة الجذب المركزية = قوة التثاقل

[الجملة داخل إطار.]

مثال (1-6):لنأخذ كمثال دوران القمر حول الأرض حيث قوة التثاقل بين الأرض والقمر هي قوة الجذب المركزية التي تحفظه في مساره حول الأرض. من المعلومات أدناه أحسب سرعة القمر في مداره حول الأرض والزمن الدوري للقمر.

الحل: من (1-1) و (1-29) :

\frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{أ}\, \text{ك}_\text{ق}}{\text{نق}^2} = \frac{\text{ك}_\text{ق}\, \text{ع}^2}{\text{نق}} \qquad \text{حيث نق هنا هي نصف قطر المسار الدائري للقمر.}

أى : $\frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{أ}}{\text{نق}} = \text{ع}^2$ ، حيث ج = 6.67 × 10⁻¹¹ ، ك_أ= 6 × 10²⁴ كجم

ونصف قطر مدار القمر = 380.000 كم = 380.000.000 م= 38 × 10⁷ م

\text{ع} = \sqrt{\frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{أ}}{\text{نق}}} = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{38 \times 10^7}}

= 10^3 \times \sqrt{\frac{6 \times 6.67}{38}} = 1026 \text{ م}/\text{ث} = 1.026 \times 10^3 \text{ م}/\text{ث} = 1 \text{ كم}/\text{ث}

وبالتالي يقطع القمر 88646 كيلومتر في مداره حول الأرض في اليوم الواحد.

مدار القمر = 2π نق = 6.283 × 38 × 10⁷ م = 23.875 × 10⁸ م

الزمن الدوري للقمر = عدد الأيام التي يكمل فيها دورة كاملة حول الأرض

= 23.875 × 10⁵ كم ÷ 86646 كم\اليوم = 27.55 يوم

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): المقام يجب أن يبقى 88646 (لا 86646) فيعطي ≈26.93 يوم لا 27.55. الرقم 86646 خطأ مطبعي (إبدال 8 بـ 6).

هذا الزمن الدوري للقمر بالرغم من أنه الزمن الفعلي لدوران القمر حول الأرض إلا أنه أقل من الشهر القمري الحقيقي الذي نستخدمه في التقويم الهجري والذي يساوى تقريباً 29.53 يوم والذي يترتب عليه عادة أن يكون أحد الشهور

القمرية 29 يوما والآخر 30 يوما. الفرق بين الشهر القمري والزمن الدوري ناتج من أن القمر يتبع الأرض في دورانها حول الشمس مما يتسبب في هذه الزيادة في الشهر القمري مقارنة بالزمن الدوري الفعلي للقمر .

5/ العلاقة بين قوة الجذب المركزية و (ز) و (ذ) و (ω)

نسترجع معا الآن بعض العلاقات الرياضية الهامة للحركة في مسار دائري التي حصلنا عليها سابقا:

1) العلاقة بين السرعة المماسة (ع) والزمن الدوري (ز) والتردد(ذ):

(19-1)

\text{ع} = 2\pi\, \text{نق} \div \text{ز}

وبما أن التردد ذ هو مقلوب الزمن الدوري ز (أي ذ=1\ز) فإن:

(21-1)

\text{ع} = 2\pi\, \text{نق}\, \text{ذ}

2) العلاقة بين السرعة المماسة (ع) والسرعة الزاويَّة( ω ):

السرعة المماسة = $\text{ع} = \text{نق} \times \omega \qquad (1-26)$

3) قوة الجذب المركزية: $\text{ق} = \frac{\text{ك}\, \text{ع}^2}{\text{نق}} \qquad (1-27)$

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): الصيغة هنا هي (1-29)؛ (1-27) معادلة السرعة المماسة ع = نق × 2π/ز. يُحفظ الترقيم (1-27) كما طُبع.

من العلاقات أعلاه نجد علاقات جديدة لقوة الجذب المركزية:

فمن (1-19) و (1-29) نجد أن:

(30-1)

\text{ق} = (4\pi^2 \text{ك}\, \text{نق}) \div \text{ز}^2

ومن (1-21) و(1-29) نجد أن :

(31-1)

\text{ق} = 4\pi^2 \text{ك}\, \text{نق}\, \text{ذ}^2

ومن (1-26) و (1-29) نجد أن:

(32-1)

\text{ق} = \text{ك}\, \text{نق}\, \omega^2

وأيضا : $\text{ق} = \text{ك}\, \omega\, \text{ع} \qquad (1-33)$

مثال (1-7) : جسم صغير كتلته 20 جرام يدور في دائرة نصف قطرها 0.5 متر 3 دورات في الثانية. جد:

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): تكرار رقم المثال: يظهر (1-7) مرة أخرى لمثال إسبوتنك في فصل الأقمار (مطبوعة نحو 54).

أ ) الزمن الدوري . ب) السرعة المماسة .

ح) السرعة الزاوية. د ) قوة الجذب المركزية .

الحل: المعطيات: ك =0.02 كجم نق = 0.5 م ذ = 3 هيرتز

أ ) الزمن الدوري ز = 1\ذ = 1\3 ث =0.3333 ثانية

ب) السرعة المماسة ع = 2π نق ذ = 6.283 × 0.5 × 3 = 9.425 م\ث

ج) السرعة الزاوية: يمكن إيجادها بأكثر من طريقة:

إما: $\omega = 2\pi / \text{ز}$ أو $\omega = 2\pi\, \text{ذ}$ أو $\omega = \text{ع} / \text{نق}$

ومن المعادلة الثانية نجد أن: $\omega = 6.283 \times 3 = 18.85$ راديان \ ث

د) قوة الجذب المركزية: يمكن إيجادها بأكثر من معادلة:

أما ق = (ك ع²) \ نق أو ق = ك نق $\omega^2$ أو ق = ك $\omega$ ع

من المعادلة الأخيرة: ق = 0.5 × 18.85 × 9.425 = 88.828 نيوتن

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): استُبدل ك=0.02 بنق=0.5. الصحيح: ق = 0.02 × 18.85 × 9.425 = 3.553 نيوتن.