(2-3-1) قوانين كبلر — الفيزياء — الصف الثالث الثانوي، الطبعة الثانية ٢٠٠٥

(2-3-1) قوانين كبلر :

لقد تمكن العالم الألماني كبلر (1571-1630م) وبعد دراسة استمرت عشرين سنة للقياسات التي قام بها أستاذه الفلكي الدنماركي تيخو براهي (1546-1601م) والذي كان كبلر يعمل مساعداً له في التوصل إلى ثلاثة قوانين تحكم حركة الكواكب حول الشمس .وهذه القياسات شبيهة بما في العمودين الثالث والرابع في الجدول (1-1) أعلاه ولكنها طبعا ليست بنفس الدقة. وقد استفاد اسحق نيوتن في عام 1666م من قياسات تيخو براهي لحركة القمر والكواكب في استنتاج قانون التثاقل الكوني.

1/ قانون كبلر(Kepler) الأول :

كل كوكب يتحرك في مدار اهليلجي بحيث تكون الشمس في إحدى بؤرتي هذا المدار الاهليلجي .

(يسمى هذا القانون أيضا بقانون المدارات) .وحسب هذا القانون فإن مدارات الكواكب ليست دائرية وإنما في شكل إهليلجى.

والشكل الإهليلجي هو مسقط (مسطح) الشكل البيضي (أي في شكل البيضة المنتظمة). والاسم منسوب إلى شجرة تشبه ثمرتها هذا الشكل. وكل من الشكل البيضي (المجسم) ومسقطه الشكل الاهليلجي (المسطح) له بؤرتان أو مركزان يحلان محل المركز الواحد في الدائرة (انظر شكل (1-10)). . فإذا وضعت مصدرا ضوئيا في إحدى بؤرتي المجسم البيضي المنتظم (الذي مسقطه هو الشكل الاهليلجي) فإن الأشعة ستنعكس من السطح الداخلي للمجسم وتتجمع في البؤرة الثانية ولهذا سميت بالبؤرة لأنها النقطة التي تتجمع فيها الأشعة.ولو وضعت هذا المصدر في البؤرة الثانية لتجمعت الأشعة في البؤرة الأولى.

أما إذا وضعت مصدراً ضوئيا في مركز الكرة والتي مسقطها هو الدائرة فإن الأشعة ستنعكس من السطح الداخلي للكرة لتعود وتتجمع في مركز الكرة أي أن مركز الكرة هو البؤرة التي يتجمع فيها الضوء.

وفي حالة الشكل الإهليلجي القريب من الدائرة تكون البؤرتان قريبتان من بعضهما وينطبقان على بعض في حالة تحول الشكل الإهليلجى إلى دائرة.

الشكل (1-10) : الشكل الاهليلجي .

الشكل (1-10) : الشكل الاهليلجي .

قطع ناقص (إهليلج) أفقي. على المحور الأفقي بؤرتان معلّمتان بمثلثين أسودين: البؤرة أ إلى اليمين والبؤرة ب إلى اليسار. نقاط على المحيط موسومة هـ (أعلى اليسار) ود (أعلى الوسط) وج (أعلى اليمين) وو (أقصى اليمين). أشعة من كل بؤرة إلى هذه النقاط مع أسهم على الأشعة (انعكاس من المحيط بين البؤرتين). المحور الأفقي بسهمين في الاتجاهين. سهم خارجي إلى اليسار موسوم الشكل الإهليلجى.

وينطبق على الشكل الإهليلجى في كل الأحوال قاعدة المسافات أي : مجموع المسافات أ جـ + ج ب = مجموع المسافات أ د + د ب وهكذا . أي أن المسافة من إحدى البؤرتين إلى محيط الشكل ثم إلى البؤرة الأخرى ثابتة لكل النقاط على المحيط . وعادة تستخدم هذه القاعدة لرسم الشكل الاهليلجي وذلك باستخدام خيط طوله أ جـ ب مثبت في النقطتين أ و ب وبوضع قلم داخل الخيط في النقطة جـ ثم تحريكه مشدودا يمكن رسم محيط الشكل الاهليلجي .

نعود الآن إلى قانون كبلر الأول حيث نلاحظ أن البؤرة التي بها الشمس تكون أقرب إلى مدار الكوكب في نقطة تسمى (الحضيض) أما الجانب البعيد فيسمى (الأوج) كما في شكل(1-11).

الشكل (1-11) : مدار أحد الكواكب حول الشمس وموقع البؤرة الثانية وبعدا الأوج والحضيض عن الشمس

الشكل (1-11) : مدار أحد الكواكب حول الشمس وموقع البؤرة الثانية وبعدا الأوج والحضيض عن الشمس

قطع ناقص، الشمس (دائرة مشعّة) في البؤرة اليمنى قريباً من الحضيض (طرف اليمين). الطرف الأيسر موسوم الأوج. محور أفقي موسوم المحور الأكبر (سهم على النصف الأيسر). محور عمودي موسوم المحور الأصغر. داخل القطع إلى يسار المركز: البؤرة الثانية. نقطة سوداء على المحيط أعلى اليمين: الكوكب.

في الواقع بعض الكواكب تدور في مدارات تقريباً دائرية والشمس في المركز وفى هذه الحالة يحسب متوسط نصف المحورين الأصغر والأكبر (شكل (1-11)) لإيجاد متوسط بعد الكوكب عن الشمس حيث المحور الأكبر هو البعد بين الحضيض والأوج بينما المحور الأصغر هو المحور العمودي الذي يمر بمنتصف المحور الأكبر.

2/ قانون كبلر الثاني (شكل (1-11)) :

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): شكل المساحات المتساوية هو (1-12)؛ الشكل (1-11) مدار الأوج والحضيض.

الخط الواصل بين الشمس وكل كوكب يرسم مساحات متساوية في أزمنة متساوية

ولهذا يسمى هذا القانون أيضاً بقانون المساحات .

الشكل (1-12) : قانون كبلر الثاني .

الشكل (1-12) : قانون كبلر الثاني .

قطع ناقص. الشمس (قرص مظلل) قريبة من الطرف الأيمن. الطرف الأيمن موسوم الحضيض، الأيسر الأوج. قطاع مظلل صغير عند الحضيض بين شعاعين إلى نقطتين أ و ب على المحيط، وبجانبه سهم سرعة ع1. قطاع مظلل أطول وأنحف عند الأوج بين شعاعين إلى نقطتين د و ج، وبجانبه سهم سرعة ع2 (أقصر من ع1). نقطة سوداء على المحيط أسفل اليسار موسومة كوكب. في وسط الشكل عبارة مساحات متساوية. أسهم على المسار باتجاه الحركة.

وهذا يعني أن مساحات الشكلين المثلثين في شكل (1-12) متساويتان وأن الزمن الذي يستغرقه الكوكب للتحرك من ب إلى أ (في حالة الحضيض) هو نفس الزمن الذي يستغرقه الكوكب للتحرك من د إلى ج (في حالة الأوج) مما يعني تلقائياً أن الكوكب يتحرك ببطء في منطقة الأوج ويكون أسرع في منطقة

الحضيض حتى يتمكن من قطع المساحات المتساوية في نفس الزمن. أي أن السرعة (ع1 < ع2) .

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): السياق والشكل (1-12) يقتضيان ع1 > ع2 (الكوكب أسرع عند الحضيض).

3/ قانون كبلر الثالث :

مكعب متوسط المسافة بين الشمس والكوكب يتناسب طردياً مع مربع الزمن الدوري للكوكب (أي مربع زمن دوران الكوكب حول الشمس )

ويسمى هذا القانون أيضاً بقانون الزمن الدوري . فإذا رمزنا لمتوسط المسافة بين الكوكب والشمس بالرمز (نق) . بحيث تكون :

\text{نق} = \frac{\text{نصف المحور الأكبر} + \text{نصف المحور الأصغر}}{2}

وهذا يعني ضمناً افتراض أن المدار قريب من الدائرة.إذن حسب قانون كبلر الثالث فإن : نق³ تتناسب مع ز² ، حيث ز = الزمن الدوري ونحن نعرف أن قوة الجذب المركزية التي تحفظ الكوكب في مداره حول الشمس = قوة التثاقل بين الكوكب والشمس في (1-1) و (1-29) .أي أن:

\frac{\text{ج}\, \text{ك}\, \text{ك}_\text{ش}}{\text{نق}^2} = \frac{\text{ك}\, \text{ع}^2}{\text{نق}}

حيث ك_ش هي كتلة الشمس ، ع هي متوسط سرعة الكوكب .

(36-1)

\therefore \text{ع}^2 = \frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{ش}}{\text{نق}}

[المعادلة (1-36) داخل إطار.]

نحن نعرف أيضاً من (1-26) أن السرعة المماسة:

ع = $\omega$ × نق حيث $\omega$ هي السرعة الزاوية ولكن السرعة الزاوية من (1-19) :

\omega = \frac{2\pi}{\text{ز}}

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): المعادلة (1-19) للسرعة المماسة ع = 2π نق/ز؛ صيغة ω = 2π/ز هي (1-25ب).

\therefore \text{ع} = \omega \times \text{نق} \qquad \text{بالتربيع} \qquad \therefore \text{ع}^2 = \omega^2 \times \text{نق}^2

من المعادلة الأخيرة ومعادلة $\omega$ أعلاه وباستعمال المعادلة (1-36)

\therefore \text{ع}^2 = \frac{4\pi^2}{\text{ز}^2}\, \text{نق}^2 = \frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{ش}}{\text{نق}}

\therefore 4\pi^2\, \text{نق}^3 = \text{ج}\, \text{ك}_\text{ش}\, \text{ز}^2

(37-1)

\therefore \text{نق}^3 = \frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{ش}}{4\pi^2} \times \text{ز}^2

ولأن $\frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{ش}}{4\pi^2} =$ ثابت فإن نق³ تتناسب مع ز² (قانون كبلر الثالث)

أي أن: $\frac{\text{نق}^3}{\text{ز}^2} =$ ثابت لكل الكواكب (1-38)

وقد استفاد نيوتن من قانون كبلر الثالث (الذي استنتجه كبلر من مراقبة حركة الكواكب) في استنتاج قانون التثاقل الكوني . لقد وجد أن الثابت :

(39-1)

\frac{\text{ج}\, \text{ك}_\text{ش}}{4\pi^2} = \frac{\text{نق}^3}{\text{ز}^2} = 3.35 \times 10^{18} \text{ م}^3/\text{ث}^2

[المعادلة (1-39) داخل إطار.]

لكل كواكب المجموعة الشمسية في المتوسط