(3-3-1) تطبيقات على قانون كبلر الثالث :

مثال (1-9): من الثابت في معادلة (1-39) يمكن إيجاد كتلة الشمس :

حيث ك_ش = $\dfrac{4\pi^2 \times 3.35 \times 10^{18}}{6.67 \times 10^{-11}} = 2 \times 10^{30}$ كجم

حيث ج = 6.67 × 10⁻¹¹ نيوتن × م² \ كجم² وكنا في الفصل الأول قد وجدنا أن كتلة الأرض ك_أ = 6 × 10²⁴ كجم أي أن كتلة الشمس تساوي تقريباً 333333 مرة كتلة الأرض .

مثال (1-10) : نحن نعلم أن الأرض تدور دورة كاملة حول الشمس تقريباً كل 365.25 يوم (بالضبط كل 365 يوم و 6 ساعات و 9 دقائق و 9.5 ثانية) .

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): هذه المدة أقرب إلى السنة النجمية، لكنها لا تساوي 365.25 يوماً (انظر F-027). نُقلت كما طُبعت.

أ/ أحسب نصف قطر مدار الأرض حول الشمس (أي متوسط المسافة بين الأرض والشمس) ب/ أحسب سرعة الأرض في مدارها حول الشمس . ج/ أحسب سرعة دوران الأرض حول نفسها.

الحل : أ/ من المعادلة(1-39) $\dfrac{\text{نق}^3}{\text{ز}^2} = 3.35 \times 10^{18}$ م³\ث²

ز = 365.25 يوم = 3.15576 × 10⁷ ثانية

وكنا قد وجدنا أن متوسط المسافة بين الأرض والقمر = 380.000 كم . أي أن المسافة بين الأرض والشمس تعادل 400 مرة تقريباً بعد القمر عن الأرض .

الوحدة الفلكية: هي المسافة بين الشمس والأرض .وقد اتخذها الفلكيون وحدة لقياس المسافات بين الأجرام السماوية. فمثلا يبعد عطارد تقريباً 0.387 بينما يبعد المريخ 1.524 وحدة فلكية عن الشمس. طبعا تبعد الأرض 1 وحدة فلكية.

ب) ∴ طول مدار الأرض حول الشمس = 2π نق = 936000000 كم

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): 2π × 149500000 ≈ 939 مليون كم لا 936.

= 936 مليون كيلومتر تقطعها الأرض مرة كل سنة

متوسط سرعة الأرض = $\dfrac{\text{طول مدار الأرض}}{\text{ز}}$

∴ متوسط سرعة الأرض في مدارها حول الشمس = $\dfrac{936 \times 10^6}{31.5576 \times 10^6}$

= 29.660 كم \ ث

أي أن الأرض تجري في مدارها حول الشمس تقريباً بسرعة 30 كم في الثانية ومع ذلك لا نحس نحن بهذه السرعة الهائلة .

ج) الآن نوجد سرعة سطح الأرض عند دوران الأرض حول نفسها دورة كاملة كل 24 ساعة (=86400 ثانية= الزمن الدوري) وبما أنها تدور حول نفسها فمعنى ذلك أنها تدور حول محيطها الذي طوله 40200 كم تقريباً (لاحظ أن المحيط = 2 π نق حيث نق = نصف قطر الأرض = 6400 كم) .

∴ سرعة سطح الأرض عند دورانها حول نفسها

ع = $\dfrac{\text{المحيط}}{\text{الزمن الدوري}} = \dfrac{40.2 \times 10^6}{86400}$ ث = 465 م\ث

أي أسرع من الصوت في الهواء ( سرعة الصوت في الهواء حوالي 340 م \ ث تقريبا) ، أي تقريباً نصف كيلومتر في الثانية . أو حوالي 1670 كيلو متر في الساعة .

وهي سرعة ليست كبيرة جداً ، وبعض الطائرات الحربية النفاثة قد تفوق سرعتها هذه السرعة . ونحن طبعاً لا نحس بوجود هذه السرعة ولكن إذا تأملنا الظل سنجده ينقص بالتدريج في الصباح ويزيد بعد الظهر بسبب هذه الحركة من الغرب إلى الشرق .

ملاحظة: قد تسأل نفسك أيها الطالب: إذا كانت الأرض تدور حول محورها الجنوبي الشمالي من الغرب إلى الشرق فماذا يحدث للغلاف الجوي حولها أثناء هذا الدوران، وإذا طارت طائرة ركاب من مطار ما متجهة إلى الشرق بسرعة أقل من سرعة دوران الأرض حول نفسها فهل معنى ذلك أن

الأرض ستسبقها وأن الطائرة لن تصل أبداً ؟ مثلا الطائرة التي تطير من الخرطوم إلى صنعاء هل ستسبقها الأرض ؟ الإجابة طبعاً لا . فالغلاف الجوي والطائرة كلها جزء من الأرض بسبب الجاذبية فالغلاف الجوي يتحرك بنفس سرعة الأرض وكذلك الطائرة التي انطلقت من المطار هي جزء من الأرض.( وهذا لا يعني دوران الأرض حول محورها ليس له تأثيراته الأخرى الطفيفة والتي لا مجال لذكرها هنا)

وهنا لا بد من الإشارة إلى أن أشهر الأجسام الفلكية التي يتحرك بعضها في مدارات اهليلجية واضحة هي المذنبات . والمذنبات هي أجسام من الصخور والغبار والغازات المتجمدة وكمثال لذلك المذنب هالي الذي يقترب من الشمس كل 76 سنة كان آخرها عام 1986م وعند اقترابه منها يتشكل له ذنب بسبب الرياح الشمسية (الجسيمات القادمة من الشمس) حيث يظهر المذنب مضيئاً للعيان وبعد ابتعاده عن الشمس يختفي الذنب . والمحور الأكبر في مدارات المذنبات كبير جداً مقارنة مع المحور الأصغر وهناك مذنبات مداراتها مفتوحة ولا تمر حول الشمس إلا مرة واحدة .

كما أنه لا بد من الإشارة هنا إلى أن الشمس أيضاً تدور حول مركز المجرة التي هي جزء منها ويستغرق دوران الشمس دورة كاملة حول مركز المجرة حوالي 200 مليون سنة بينما المجرة كلها أيضاً تجري مع بقية المجرات . وهكذا فالكون كله في حركة دائبة حيث تجري كل المجرات من مركز التكوين الأول له والذي كان في صورة انفجار وبالتالي يتوسع الكون؛ ﴿ والسماء بنيناها بأيد وإنا لموسعون ﴾ سورة الذاريات، الآية 47.