(2-1-4) نموذج بوهر؛ شكل (4-1) — الفيزياء — الصف الثالث الثانوي، الطبعة الثانية ٢٠٠٥

(2-1-4) نموذج بوهر :

في عام 1913م تمكن العالم " نيلز بوهر(ينطق بور) " من وضع نموذج جديد للذرة اعتبر فيه الذرة مكونة من نواة موجبة تدور حولها الالكترونات في مدارات معينة كما تدور الكواكب حول الشمس ، ويحتوي كل مدار على الكترونات ذات طاقة معينة . ويكون الالكترون مستقراً ولا يشع أي طاقة عندما يكون في مستوى الطاقه المناسبة لذلك المدار.

الشكل (4-1) : الكترون يدور حول النواة .

الشكل (4-1) : الكترون يدور حول النواة .

تسميات: النواة (شحنة + ورمز ش)، الإلكترون (شحنة ش₁) على المدار، سرعة مماسية ع، سهم قوة نحو النواة.

قوة الجذب المركزية على الإلكترون: $\text{ق}_\text{١} = \frac{\text{ك} \text{ع}^2}{\text{نق}}$

قوة الجذب الكهربي بين النواه والإلكترون: $\text{ق}_\text{ك} = -\frac{\text{ث}_\text{ك}\, \text{ش}\, \text{ش}_\text{١}}{\text{نق}^2}$

ويمكن ايجاد قيمة الطاقة المناسبة في أي مدار بمعرفة القوى المؤثرة على الالكترون . فإذا كانت كتلة الالكترون تساوي (ك) وشحنته تساوي (ش₁) وكان الالكترون يسير في مدار دائري نصف قطره (نق) بسرعة (ع) حول نواة شحنتها (ش) فإن الالكترون لا بد له من القوة التي تحفظه في مداره حول النواة وهي قوة الجذب المركزية. وهذه القوة كما درسنا في الحركة الدائرية هي :

(1-4)

\text{ق} = \frac{\text{ك} \text{ع}^2}{\text{نق}}

قوة الجذب المركزية هذه على الالكترون هي في الواقع قوة الجذب الكهربي الناتجة من جذب النواة الموجبة للالكترون السالب وهي حسب قانون كولوم تساوي :

(2-4)

\text{ق} = \frac{\text{ث}_\text{ك} \text{ش}_\text{١} \text{ش}}{\text{نق}^2}

وهي تعمل على جذب الالكترون نحو النواة . وبناءا على ذلك فإن :

قوة الجذب المركزية = قوة الجذب الكهربي

\frac{\text{ك} \text{ع}^2}{\text{نق}} = \frac{\text{ث}_\text{ك} \text{ش} \text{ش}_\text{١}}{\text{نق}^2}

(3-4)

\text{ك} \text{ع}^2 = \frac{\text{ث}_\text{ك} \text{ش} \text{ش}_\text{١}}{\text{نق}}

ملاحظة :

لا يسقط الالكترون في النواة بسبب قوة الجذب الكهربي لوجود قوة الطرد المركزية حسب قانون نيوتن الثالث كرد فعل لقوة الجذب المركزية .

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): قوة الطرد المركزية ليست رد فعل حسب القانون الثالث. في الإطار القصوري يوفّر الجذب العجلة الجاذبة المركزية (ك ع²/نق).

المعروف أن طاقة الحركة لأي جسم كتلته ك وسرعته ع هي ( $\frac{1}{2}$ ك ع $^2$ ) ولذلك بقسمة الطرفين في المعادلة (3-4) على 2 نجد أن طاقة الحركة:

(4-4)

\text{ط}_\text{ح} = \frac{1}{2} \text{ك} \text{ع}^2 = \frac{\text{ث}_\text{ك} \text{ش} \text{ش}_\text{١}}{2 \text{نق}}

أما طاقة الوضع فهي ناتجة عن الشغل المبذول بواسطة قوة الجذب الكهربي على الإلكترون في المدار وهي تساوي :

ط_و = الشغل المبذول = القوة الكهربية × المسافة بين الالكترون والنواة (نق)

(5-4)

\text{ط}_\text{و} = -\frac{\text{ث}_\text{ك} \text{ش} \text{ش}_\text{١}}{\text{نق}^2} \times \text{نق} = -\frac{\text{ث}_\text{ك} \text{ش} \text{ش}_\text{١}}{\text{نق}}

(لاحظ التشابه بين هذه المعادلة وقانون طاقة الوضع للمجال التتاقلي الذي درسناه في الباب الأول وبنفس علامة السالب)

إذن الطاقة الكلية للإلكترون ط_ك = طاقة الحركة + طاقة الوضع

ط_و + ط_ح = ط_ك

= \frac{\text{ث}_\text{ك} \text{ش} \text{ش}_\text{١}}{2 \text{نق}} - \frac{\text{ث}_\text{ك} \text{ش} \text{ش}_\text{١}}{\text{نق}}

= \frac{\text{ث}_\text{ك} \text{ش} \text{ش}_\text{١}}{\text{نق}}\left[ 1 - \frac{1}{2} \right] = \frac{-\text{ث}_\text{ك} \text{ش} \text{ش}_\text{١}}{2 \text{نق}}

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): المقصود [1/2 − 1] لا [1 − 1/2]. الصندوق (6-4) السالب صحيح.

$\therefore$ الطاقة الكلية للالكترون الذي يدور حول النواة في مدار نصف قطره (نق):

(6-4)

\boxed{ \text{ط}_\text{ك} = -\frac{\text{ث}_\text{ك} \text{ش} \text{ش}_\text{١}}{2 \text{نق}} }

لاحظ أن كل من ث_ك (ثابت التناسب) و ش (شحنة النواة) و ش₁ (شحنة الإلكترون) هي ذات قيم ثابتة، وبالتالي يمكن كتابة المعادلة (6-4) كالآتي:

(7-4)

\boxed{ \text{ط}_\text{ك} = -\frac{\text{ثابت}}{\text{نق}} }

أي أن الطاقة الكلية للإلكترون في مداره تعتمد فقط على نصف قطر ذلك المدار. وهي تقل كلما زاد نصف القطر وتزيد كلما قل. وتعني علامة السالب ان الطاقة الكلية للإلكترون هي طاقة جذب الى النواة ويلزم طاقة خارجية لفصله عنها، أي يلزم طاقة موجبة.

لقد وجد بوهر بعد بعض الحسابات أن نصف القطر نق في المعادلة (7-4) المناسب للإلكترون لكي يدور حول النواة دون أن يشع طاقة يتناسب مع مربع الأعداد الصحيحة 1 ، 2 ، 3 ، ....، أي أن : نق تتناسب مع عد $^2$