(3-1-2): السرعة والعجلة في الحركة التوافقية البسيطة:

الآن نعود إلي شكل (2-3) لنرى كيف تتغير السرعة في الحركة التوافقية البسيطة مقارنة مع تلك التي في الحركة الدائرية الممثلة بأسهم مماسة للدائرة. وكما وجدنا أن ظل نصف القطر نق في أي نقطة على الدائرة يعطينا على الحاجز الإزاحة ص فإن ظل السرعة المماسة للدائرة ع في حركة الجسم الدائرية يعطينا على الحاجز سرعة الجسم في الحركة التوافقية. فعندما يصل الجسم إلى أعلى الدائرة تكون السرعة أفقية ولذلك يكون ظلها صفر وتكون الإزاحة في هذه الحالة ص = الأتساع أ وهى فعلا النقطة التي يتوقف عندها الجسم ويرجع بعدها في الاتجاه الآخر . أما أقصى سرعة فهي المماسة للدائرة في خط الاتزان حيث نجد أن ظلها على الحاجز كاملا وفعلا تكون

السرعة في الحركة التوافقية البسيطة في مستوى الاتزان هي أقصى سرعة. ومن هذه الملاحظات نجد أن السرعة في الحركة التوافقية لا تتناسب مع نق × جاهـ كما في حالة الإزاحة وإنما مع نق × جتا هـ . أي

ع تتناسب مع نق × جتا هـ ولكن السرعة المقابلة لها في الحركة الدائرية من المعادلة (1-26):

وعلية تكون السرعة في الحركة التوافقية البسيطة التي هي ظل أو مسقط السرعة في (2-5) :

$\text{ع} = \omega \times \text{نق} \times \text{جتا هـ} = \omega \times \text{نق} \times \text{جتا} (\omega \times \text{ن})$

وبما أن الاتساع أ = نق، فإن:

فحينما تكون $(\omega \times \text{ن}) = \dfrac{\pi}{2}$ فإن ع = صفر . وفعلا يتوقف الجسم عند أقصى إزاحة ( الاتساع ) أ ، ثم تغير الحركة التوافقية اتجاهها . أي أن السرعة تكون دائماً في اتجاه الحركة وتغير اتجاهها عند ص = أ ، ص = − أ . أما عندما تكون $(\omega \times \text{ن})$ = صفر أي ص = أ × جا (صفر) = صفر أي في موضع الاتزان ع = أ × $\omega$ × جتا $(\omega \times \text{ن})$ = أ × $\omega$ × جتا (صفر)، أي : $\text{ع}_0$ = أ × $\omega$ أقصى قيمة للسرعة وهى نفس (2-5)

[رسم رأسي إلى يسار النص: سهم إلى أعلى الاتساع أ عند طرفه ع = صفر؛ نقطة في الوسط مستوي الإتزان وأقصى سرعة؛ سهم إلى أسفل −الاتساع أ عند طرفه السرعة = صفر.]

أما عجلة الحركة التوافقية البسيطة فتقابل عجلة الجذب المركزية في الحركة الدائرية التي يكون اتجاهها دائما إلى مركز الدائرة وبالتالي فهذه العجلة تتحرك على نفس الخط الذي يتحرك عليه نصف القطر نق (شكل (2-3)). وبما أن الإزاحة ص هي ظل أو مسقط نق فمن الشكل نجد أن عجلة الحركة التوافقية هي أيضا مسقط نصف القطر ولكن اتجاهها معاكس لاتجاه الزيادة في الإزاحة ص. أي بالمقارنة مع معادلة (2-2) تكون العجلة:

$\text{ج} \quad$ تتناسب مع $− \text{أ} \times \text{جا هـ}$ أي تتناسب مع $− \text{ص}$

ولكن عجلة قوة الجذب المركزية في الحركة الدائرية المقابلة لعجلة الحركة التوافقية من المعادلة(1-28) ومن المعادلة (2-5) أعلاه هي:

ولكن لأن الاتساع أ = نق وظل أو مسقط نق على الحاجز في اتجاه العجلة هو $−\text{نق} \times \text{جا}\text{هـ}$ فإن العجلة في معادلة (2-7) تصبح:

$\text{ج} = − \omega^2 \times \text{نق} \times \text{جا هـ} = − \omega^2 \times \text{أ} \times \text{جا} (\omega \times \text{ن})$

بالمقارنة مع الإزاحة ص في(2-2) و(4-2) نجد أن :

[المعادلة (2-8) داخل إطار.]

علامة السالب تعنى أن اتجاه جـ في عكس اتجاه الزيادة في الإزاحة ص لأن العجلة في الحركة التوافقية باتجاهها هذا تعمل على منع الزيادة في ص ولذلك تقف الحركة عند ص=أ ومن ثم تتحرك عائدة ولولا علامة السالب هذه لما توقفت الحركة أبدا لأن جـ كانت ستزيد مع الزيادة في ص باستمرار وبالتالي تزيد السرعة. من معادلة (2-8) نحصل على تعريف للحركة التوافقية البسيطة حيث:

الحركة التوافقية البسيطة هي الحركة التي تتناسب فيها العجلة طرديا مع سالب الإزاحة .

وأي حركة اهتزازية لا يوجد فيها هذا التناسب لا تعتبر حركة توافقية بسيطة.

مثال (2-1) : يتحرك جسم في حركة توافقية باتساع قدره 0.05 متر وتردد مقداره 5 هيرتز (ذبذبة في الثانية) . جد معادلة الحركة التوافقية للجسم وجد كذلك سرعته وعجلته بعد 4 ثوان من بداية الحركة.

الحل : أ = الاتساع = 0.05 م ذ = التردد = 5 هيرتز من (2-1): $\omega = 2\pi \text{ذ} = 2\pi \times 5 = 10\pi$ راديان\ثانية ن = 4 ثانية

$\text{ص} = \text{أ} \times \text{جا} (\omega \times \text{ن}) = 0.05 \times \text{جا} 10\pi \times \text{ن}$

$= 0.05 \times \text{جا} (40\pi) =$ صفر

$\text{ع} = \text{أ} \times \omega \times \text{جتا}(\omega \times \text{ن}) = 0.05 \times 10\pi \times \text{جتا} (10\pi \times \text{ن})$

$= 0.5\pi \times \text{جتا} 40\pi = 0.5\pi$ م\ث

العجلة $\text{ج} = − \omega^2 \text{ص} = − 100\pi^2 \times 0.05 \text{جا} 10\pi \text{ن}$

$= − 5\pi^2 \text{جا} 40\pi =$ صفر

مثال (2-2) : يتحرك جسم في حركة توافقية بسيطة وفق المعادلة :

$\text{ص} = 4 \text{جا} 40\pi \text{ن}$ متر

جد اتساعه أ وتردده ذ وتردده الزاوي $\omega$ وزمنه الدوري ز . الحل : بمقارنة المعادلة ص = أ جا$(\omega \times \text{ن})$ مع ص = 4 جا $(40\pi \text{ن})$ نجد أن الاتساع أ = 4 م التردد الزاوي $\omega = 40\pi$ رادين\ثانية

التردد من(2-1) $\text{ذ} = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{40\pi}{2\pi} = 20$ هيرتز

الزمن الدوري من (2-1) $\text{ز} = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{40\pi} = \dfrac{1}{20}$ ثانية