(4-1-2) معادلة حركة البندول البسيط (النواس المتأرجح) :

إذا قمنا بتعليق جسم كتلته (ك) في الطرف الحر لخيط مثبت طوله (ل) وأبعدنا الجسم عن نقطة توازنه ثم تركناه . فسنجد أن الجسم يتحرك

حركة تذبذبية وهذه الحركة تسمى حركة البندول التذبذبية . شكل (2-5) يوضح هذه الحركة .

الشكل (2-5) حركة البندول التذبذبية والقوة المؤثرة على الجسم .

خيط طوله ل يتدلى من قضيب أفقي (موسوم ل على الجانبين)، زاوية θ عن الرأسي. في الموضع الأيمن: سهم ش على الخيط موسوم شد الخيط إلى أعلى؛ وزن و إلى أسفل؛ مركبة و جتا θ بمحاذاة الخيط؛ مركبة و جا θ عمودية على الخيط؛ إزاحة أفقية بقوس س؛ سهم إلى أعلى عند الأسفل موسوم نقطة الاتزان. في الموضع الأيسر (دائرة متقطعة): تحليل قوى مشابه ورمز و.

إذا كانت إزاحة البندول (س) صغيرة جداً وبالقدر الذي يمكننا من اعتبار القوس الصغير الذي طوله (س) خطاً مستقيماً . وكانت الإزاحة الزاوية تساوي θ (تنطق ثيتا) فإن:

$\dfrac{\text{س}}{\text{ل}} = \dfrac{\text{الم}\text{قا}\text{بل}}{\text{ا}\text{لو}\text{تر}} = \text{جا} \theta$ (انظر الرسم أعلاه)

$∴ \text{س} = \text{ل} \text{جا} \theta$

وهناك قوتان تؤثران على جسم البندول وهما وزن الجسم (و) وشد الخيط (ش) . حيث تتزن مركبة الوزن (و جتا θ) مع الشد في الخيط . أي أن :

$\text{ش} = \text{و} \text{جتا} \theta = \text{ك} \text{د} \text{جتا} \theta$

حيث يعرف الوزن بأنه حاصل ضرب الكتلة (ك) × عجلة الجاذبية (د) . أما مركبة الوزن ( و جا θ ) فهي تمثل القوة المسببة للعجلة . وحسب قانون نيوتن الثاني نجد أن : الكتلة × العجلة = القوة المسببة للعجلة

$\text{ك} \times \text{ج} = − \text{و} \text{جا} \theta = − \text{ك} \text{د} \text{جا} \theta$

القوة بالسالب لأنها تعمل في عكس اتجاه الزيادة في الإزاحة س . $\text{ج} = − \text{د} \text{جا} \theta$ ولكن $\text{جا} \theta = \dfrac{\text{س}}{\text{ل}}$

[المعادلة الأخيرة داخل إطار.]

ويمكن إيجاد تردد البندول باستخدام علاقة العجلة أعلاه بالعجلة في الحركة التوافقية البسيطة معادلة (2-8) حيث أن :

$\text{ج} = − \omega^2 \text{س} = − \dfrac{\text{د}}{\text{ل}} \text{س}$

$∴ \omega^2 = \dfrac{\text{د}}{\text{ل}}$

[المعادلة الأخيرة داخل إطار.]

أما الزمن الدوري للبندول من (2-1) فيساوي :

[المعادلة (2-9) داخل إطار.]

كما أن تردد البندول من (2-1) يساوي :

[المعادلة الأخيرة داخل إطار.]

تستعمل المعادلة (2-9) لإيجاد عجلة الجاذبية الأرضية د. بإيجاد الزمن الدوري ز لبندول باستعمال ساعة وبمعرفة ل، نجد د من معادلة (2-9) حيث $\text{د} = 4\pi^2 \times (\text{ل} / \text{ز}^2)$ مثال (2-3) : بندول طوله 10 سم أحسب زمنه الدوري وتردده الزاوي علماً بأن عجلة الجاذبية تساوي 10 مترا ث² . الحل : المعطيات : ل = 0.1 متر ، د = 10 متر\ث² إيجاد الزمن الدوري (ز) من (2-10) :

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): القانون المستعمل هو (2-9): ز = 2π √(ل/د)، لا (2-10). الحساب 0.628 ث صحيح.

$\text{ز} = 2\pi \sqrt{\dfrac{\text{ل}}{\text{د}}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{0.1}{10}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{1}{100}}$

$\text{ز} = \dfrac{2\pi}{10} = \dfrac{3.14 \times 2}{10} = \dfrac{6.28}{10} = 0.628$ ثانية

إيجاد التردد الزاوي من (2-1) :

$\omega = \dfrac{2\pi}{\text{ز}} = \dfrac{3.14 \times 2}{0.628} = 10$ رادين\ثانية

إيجاد التردد (ذ) :

$\text{ذ} = \dfrac{1}{\text{ز}} = \dfrac{1}{0.628} = \dfrac{1.000}{628} = 1.592$ هيرتز

براهين أخرى لقوانين السرعة ع والعجلة جـ في الحركة التوافقية البسيطة

أولا ننبه إلى أن البرهانين الذين حصلنا بموجبهما على السرعة ع [المعادلة (2-6)] وعلى العجلة جـ [ المعادلة (2-8)] كافيان لك أيها الطالب حسب هذا المنهج ، ولكن سنورد هنا البرهانين التاليين للطلاب الذين يرغبون في تطبيق ما درسوه في التفاضل في الفيزياء ويمكن أن يكونا بديلين للبرهانين السابقين:

1) السرعة ع في الحركة التوافقية البسيطة: بما أن أي سرعة هي معدل تغير الإزاحة في الزمن فيمكن الحصول مباشرة على السرعة في الحركة التوافقية البسيطة من تفاضل الإزاحة في (2-4) مع الزمن . أي:

$\text{ع} = \dfrac{\text{د} \text{ص}}{\text{د} \text{ن}} = \dfrac{\text{د} \left(\text{أ} \times \text{جا}(\omega \times \text{ن})\right)}{\text{د} \text{ن}} = \text{أ} \times \omega \times \text{جا} (\omega \times \text{ن})$

ملاحظة تصحيح (ليست من الكتاب): مشتق جا(ωن) هو ω جتا(ωن)، لا ω جا(ωن). المعادلة (2-6) الصحيحة: ع = أ ω جتا(ωن).

وهى نفس المعادلة (2-6).هذا البرهان مباشر ومختصر ويدل على فائدة التفاضل (وأيضا التكامل) في الفيزياء .

2) العجلة جـ في الحركة التوافقية البسيطة: معادلة العجلة (2-8) يمكن الحصول عليها مباشرة من تفاضل السرعة بالزمن لأن العجلة هي معدل تغير السرعة في الزمن. أي:

$\text{ج} = \dfrac{\text{د} \text{ع}}{\text{د} \text{ن}} = \dfrac{\text{د} \left(\text{أ} \times \omega \times \text{جتا}(\omega \times \text{ن})\right)}{\text{د} \text{ن}}$

$= − \text{أ} \times \omega^2 \text{جا}(\omega \text{ن}) = − \omega^2 \text{ص}$

والنتيجة هي نفس المعادلة (2-8). إذا استوعبت هذه البراهين أيها الطالب فلك الخيار إذا في الاعتماد عليها أو تظل على البراهين السابقة في القسم (3-1-2) حيث أن أي منهما يكفي لأن المطلوب هو معرفة لماذا كانت معادلة السرعة ومعادلة العجلة كما في (2-6) و (2-8).